Формула расчёта балки на изгиб

Формула расчёта балки на изгиб

В качестве примера, возьмем металлическую балку на двух опорах. Запишем для нее формулу для вычисления прогиба, посчитаем его численное значение. И также в конце этой статьи дам ссылки на другие полезные статьи с примерами определения прогибов для различных расчетных схем.

Что такое прогиб балки?

Под действием внешней нагрузки, поперечные сечения балки перемещаются вертикально (вверх или вниз), эти перемещения называются прогибами. Сопромат позволяет нам определить прогиб балки, зная ее геометрические параметры: длину, размеры поперечного сечения. И также нужно знать материал, из которого изготовлена балка (модуль упругости).

Кстати! Помимо вертикальных перемещений, поперечные сечения балки, поворачиваются на определенный угол. И эти величины также можно определить методом начальных параметров.

ν-прогиб сечения C; θ-угол поворота сечения C.

Прогибы балки необходимо рассчитывать, при расчете на жесткость. Расчётные значения прогибов не должны превышать допустимых значений. Если расчетное значение меньше, чем допустимое, то считают, что условие жесткости элемента конструкции соблюдается. Если же нет, то принимаются меры по повышению жесткости. Например, задаются другим материалом, у которого модуль упругости БОЛЬШЕ. Либо же меняют геометрические параметры балки, чаще всего, поперечное сечение. Например, если балка двутаврового профиля №12, не подходит по жесткости, принимают двутавр №14 и делают перерасчет. Если потребуется, повторяют подбор, до того момента пока не найдут тот самый – двутавр.

Метод начальных параметров

Метод начальных параметров, является довольно универсальным и простым методом. Используя этот метод можно записывать формулу для вычисления прогиба и угла поворота любого сечения балки постоянной жесткости (с одинаковым поперечным сечением по длине.)

Под начальными параметрами понимаются уже известные перемещения:

  • в опорах прогибы равны нулю;
  • в жесткой заделке прогиб и угол поворота сечения равен нулю.

Расчет прогибов балки

Посмотрим, как пользоваться методом начальных параметров на примере простой балки, которая загружена всевозможными типами нагрузок, чтобы максимально охватить все тонкости этого метода:

Реакции опор

Для расчета нужно знать все внешние нагрузки, действующие на балку, в том числе и реакции, возникающие в опорах.

Система координат

Далее вводим систему координат, с началом в левой части балки (точка А):

Распределенная нагрузка

Метод начальных параметров, который будем использовать чуть позднее, работает только в том случае, когда распределенная нагрузка доходит до крайнего правого сечения, наиболее удаленного от начала системы координат. Конкретно, в нашем случае, нагрузка обрывается и такая расчетная схема неприемлема для дальнейшего расчета.

Если бы нагрузка была приложена вот таким способом:

То можно было бы сразу приступать к расчету перемещений. Нам же потребуется использовать один хитрый прием – ввести дополнительные нагрузки, одна из которых будет продолжать действующую нагрузку q, другая будет компенсировать это искусственное продолжение. Таким образом, получим эквивалентную расчетную схему, которую уже можно использовать в расчете методом начальных параметров:

Вот, собственно, и все подготовительные этапы, которые нужно сделать перед расчетом.

Приступим непосредственно к самому расчету прогиба балки. Рассмотрим наиболее интересное сечение в середине пролета, очевидно, что это сечение прогнется больше всех и при расчете на жесткость такой балки, рассчитывалось бы именно это сечение. Обзовем его буквой – C:

Относительно системы координат записываем граничные условия. Учитывая способ закрепления балки, фиксируем, что прогибы в точках А и В равны нулю, причем важны расстояния от начала координат до опор:

Читайте также:  Можно ли наносить краску поверх лака

Записываем уравнение метода начальных параметров для сечения C:

Произведение жесткости балки EI и прогиба сечения C будет складываться из произведения EI и прогиба сечения в начале системы координат, то есть сечения A:

Напомню, E – это модуль упругости первого рода, зависящий от материала из которого изготовлена балка, I – это момент инерции, который зависит от формы и размеров поперечного сечения балки. Также учитывается угол поворота поперечного сечения в начале системы координат, причем угол поворота дополнительно умножается на расстояние от рассматриваемого сечения до начала координат:

Учет внешней нагрузки

И, наконец, нужно учесть внешнюю нагрузку, но только ту, которая находится левее рассматриваемого сечения C. Здесь есть несколько особенностей:

  • Сосредоточенные силы и распределенные нагрузки, которые направленны вверх, то есть совпадают с направлением оси y, в уравнении записываются со знаком «плюс». Если они направленны наоборот, соответственно, со знаком «минус»:

  • Моменты, направленные по часовой стрелке – положительные, против часовой стрелки – отрицательные:

  • Все сосредоточенные моменты нужно умножать дробь:

[ Mcdot frac < < x >^ < 2 >>< 2 >]

  • Все сосредоточенные силы нужно умножать дробь:

[ Fcdot frac < < x >^ < 3 >>< 6 >]

  • Начало и конец распределенных нагрузок нужно умножать на дробь:

Формулы прогибов

С учетом всех вышеописанных правил запишем окончательное уравнение для сечения C:

В этом уравнении содержится 2 неизвестные величины – искомый прогиб сечения C и угол поворота сечения A.

Поэтому, чтобы найти прогиб, составим второе уравнение для сечения B, из которого можно определить угол поворота сечения A. Заодно закрепим пройденный материал:

Выражаем угол поворота:

Подставляем это значение в наше первое уравнение и находим искомое перемещение:

Вычисление прогиба

Значение получили в общем виде, так как изначально не задавались тем, какое поперечное сечение имеет рассчитываемая балка. Представим, что металлическая балка имеет двутавровое поперечное сечение №30. Тогда:

Таким образом, такая балка прогнется максимально на 2 см. Знак «минус» указывает на то, что сечение переместится вниз.

В инженерных и инженерно-строительных науках (сопротивление материалов, строительная механика, теория прочности), под балкой понимается элемент несущей конструкции, воспринимающаяся преимущественно на изгибные нагрузки, и имеющая различные формы поперечного сечения.

Конечно, в реальном строительстве, балочные конструкции подвержены и другим видам нагружения (ветровой нагрузке, вибрации, знакопеременному нагружения), однако основной расчет горизонтальных, многоопертых и жесткозакрепленных балок проводится на действие или поперечной, или приведенной к ней эквивалентной нагрузке.

Расчетная схема рассматривает балку как жесткозакрепленный стержень или как стержень, установленный на двух опорах. При наличии 3 и более опор, стержневая система считается статически неопределимой и расчет на прогиб как всей конструкции, так и ее отдельных элементов, значительно усложняется.

При этом, основное нагружение рассматривается как сумма сил, действующая в направлении перпендикулярному сечению. Целью расчета на прогиб является определение максимального прогиба (деформации) который не должен превышать предельных значений и характеризует жесткость как отдельного элемента (так и всей связанной с ней строительной конструкции.

Основные положения расчетных методик

Современные строительные методики расчета стержневых (балочных) конструкций на прочность и жесткость, дают возможность уже на стадии проектирования определить значение прогиба и сделать заключение о возможности эксплуатации строительной конструкции.

Расчет на жесткость позволяет решить вопрос о наибольших деформациях, которые могут возникнуть в строительной конструкции при комплексном действии различного вида нагрузок.

Современные методы расчета, проводимые с использованием специализированных расчетов на электронно-вычислительных машинах, или выполняемые при помощи калькулятора, позволяют определить жесткость и прочность объекта исследований.

Читайте также:  Отделка террасы деревом фото

Несмотря на формализацию расчетных методик, которые предусматривают использование эмпирических формул, а действие реальных нагрузок учитывается введением поправочных коэффициентов (коэффициенты запаса прочности), комплексный расчет достаточно полно и адекватно оценивает эксплуатационную надежность возведенного сооружения или изготовленного элемента какой-либо машины.

Несмотря на отдельность прочности расчетов и определения жесткости конструкции, обе методики взаимосвязаны, а понятия «жесткость» и «прочность» неразделимы. Однако, в деталях машин, основное разрушение объекта происходит из-за потери прочности, в то время как объекты строительной механики часто непригодны к дальнейшей эксплуатации из значительных пластических деформаций, которые свидетельствуют о низкой жесткости элементов конструкции или объекта в целом.

Сегодня, в дисциплинах «Сопротивление материалов», «Строительная механика» и «Детали машин», приняты два метода расчета на прочность и жесткость:

  1. Упрощенный (формальный), при проведении которого в расчетах применяются укрупненные коэффициенты.
  2. Уточненный, где используются не только коэффициенты запаса прочности, но и производится расчет контракции по предельным состояниям.

Алгоритм расчета на жесткость

Формула определения прочности балки на изгиб

Где:

  • M – максимальный момент, возникающий в балке (находится по эпюре моментов);
  • Wn,min – момент сопротивления сечения (находится по таблице или вычисляется для данного профиля), у сечения обычно 2-а момента сопротивления сечения, в расчетах используется Wx, если нагрузка перпендикулярна оси х-х профиля или Wy, если нагрузка перпендикулярна оси y-y;
  • Ry– расчетное сопротивление стали при изгибе (задается в соответствии с выбором стали);
  • γc – коэффициент условий работы (данный коэффициент можно найти в таблице 1 СП 16.13330.2011;

Алгоритм расчета на жесткость (определение величины прогиба) достаточно формализован и не представляет труда для овладения.

Для того, чтобы определить прогиб балки, необходимо в нижеприведенной последовательности выполнить следующие действия:

  1. Составить расчетную схему объекта исследований.
  2. Определить размерные характеристики балки и расчетных сечений.
  3. Рассчитать максимальную нагрузку, действующую на балку, определив точку ее приложения.
  4. При необходимости, балка (в расчетной схеме она заменятся невесомым стержнем) дополнительно проверяется на прочность по максимальному изгибающему моменту.
  5. Определяется значение максимального прогиба, который характеризует жесткость балки.

Для составления расчетной схемы балки, необходимо знать:

  1. Геометрические размеры балки, включая пролет между опорами, а при наличии консолей – их длину.
  2. Геометрическую форму и размеры поперечного сечения.
  3. Характер нагрузки и точки их приложения.
  4. Материал балки и его физико-механические характеристики.

При простейшем расчете двухопорных балок, одна опора считается жесткой, а вторая закреплена шарнирно.

Определение моментов инерции и сопротивления сечения

К геометрическим характеристикам, которые необходимы при выполнении расчетов на прочность и жесткость, относится момент инерции сечения (J) и момент сопротивления (W). Для вычисления их величины существуют специальные расчётные формулы.

Формула момента сопротивления сечения

Определение максимальной нагрузки и прогиба

Формула определения прогиба

Где:

  • q – равномерно-распределенная нагрузка, выраженная в кг/м (Н/м);
  • l – длина балки в метрах;
  • E – модуль упругости (для стали равен 200-210 ГПа);
  • I – момент инерции сечения.

При определении максимальной нагрузки, необходимо учитывать довольно значительное число факторов, действующих как постоянно (статические нагрузки), так и периодически (ветровая, вибрационная ударная нагрузка).

В одноэтажном доме, на деревянный брус потолочного перекрытия будут действовать постоянные весовые усилия от собственного веса, расположенных на втором этаже простенков, мебели, находящихся обитателей и так далее.

Особенности расчета на прогиб

Конечно, расчет элементов перекрытий на прогиб проводится для всех случаев и обязателен при наличии значительного уровня внешних нагрузок.

Читайте также:  Небольшой набор инструментов для автомобиля

Сегодня, все вычисления величины прогиба достаточно формализованы и все сложные реальные нагружения сведены к следующим простым расчетным схемам:

  1. Стержень, опирающийся на неподвижную и шарнирно закрепленную опоры, воспринимающий сосредоточенную нагрузку (случай рассмотрен выше).
  2. Стержень, опирающийся на неподвижную и шарнирно закрепленную на который действует распределенное нагружение.
  3. Различные варианты нагружения жестко закрепощённого консольного стержня.
  4. Действие на расчетный объект сложной нагрузки – распределенной, сосредоточенной, изгибающего момента.

При этом, методика и алгоритм расчета не зависят от материала изготовления, прочностные характеристики которого учтены различными значениями модуля упругости.

Разновидности балок, применяемых в строительстве

Современная стройиндустрия при возведении сооружений промышленного и жилого назначения, практикует использование стержневых систем различного сечения, формы и длины, изготовленных из различных материалов.

Наиболее большее распространение получили стальные и деревянные изделия. В зависимости от используемого материала, определение значения прогиба имеет свои нюансы, связанные со структурой и однородностью материала.

Деревянные

Современное малоэтажное строительство индивидуальных домов и загородных коттеджей практикует широкое использование лаг, изготовленных из хвойных и твердых пород древесины.

В основном, деревянные изделия, работающие на изгиб, применяются для обустройства напольных и потолочных перекрытий. Именно эти элементы конструкции испытают наибольшее действие поперечных нагрузок, взывающих наибольший прогиб.

Стрела прогиба деревянной лаги зависит:

  1. От материала (породы древесины), который использовался при изготовлении балки.
  2. От геометрических характеристик и формы попечённого сечения расчетного объекта.
  3. От совокупного действия различного вида нагрузок.

Критерий допустимости прогиба балки учитывает два фактора:

  1. Соответствие реального прогиба предельно допустимым значениям.
  2. Возможность эксплуатации конструкции при наличии расчетного прогиба.

Стальные

Имеют более сложное сечение, которое может быть составным, выполненным из нескольких видов металлического проката. При расчете металлоконструкций, помимо определения жесткости самого объекта его элементов, часто появляется необходимость определения прочностных характеристик соединений.

Обычно, соединение отдельных элементов стальной металлоконструкции проводится:

  1. С использованием электросварки.
  2. Путем применения резьбовых (шпилечных, болтовых и винтовых) соединений.
  3. Соединением заклепками.

σ — нормальные напряжения,
τ — касательные напряжения,
Qy – внутренняя поперечная сила,
Mx – внутренний изгибающий момент,
Ix – осевой момент инерции сечения балки,
Wx – осевой момент сопротивления сечения,
[ σ ], [ τ ] – соответствующие допустимые напряжения,
E – модуль упругости I рода (модуль Юнга),
y — расстояние от оси x до рассматриваемой точки сечения балки.

Формула кривизны балки в заданном сечении

Расчет нормальных напряжений в произвольной точке сечения балки

Условие прочности по нормальным напряжениям при изгибе (проверочный расчет)

Осевые моменты инерции I и сопротивления W

  • прямоугольного сечения

    h – высота сечения,
    b – ширина сечения балки.
  • круглого сечения балки

    D — диаметр сечения

Касательные напряжения в произвольной точке сечения определяются по формуле Журавского:

Sx * — статический момент относительно оси x отсеченной части сечения

b — ширина сечения на уровне рассматриваемой точки

Условие прочности балки по касательным напряжениям

Дифференциальное уравнение линии изогнутой оси балки

θ z, yz — соответственно угол наклона и прогиб сечения балки на расстоянии z от начала координат,
θ , y — соответственно угол наклона и прогиб сечения балки в начале координат,
m, F, q — соответственно все изгибающие моменты, сосредоточенные силы и распределенные нагрузки приложенные к балке,
a, b — расстояние от начала координат до сечений где приложены моменты и силы соответственно,
c — расстояние от начала координат до начала распределенной нагрузки q.

Ссылка на основную публикацию
Фонарь брелок яркий луч
Фонарь-брелок Яркий Луч "X8. Scorpion" Ручной фонарь Яркий Луч G18 "Gryphon" Фонарь-брелок Яркий ЛУЧ COLIBRI LMP LPG2 Ручной фонарь Яркий...
Физалис кондитерский рецепты приготовления
Экология жизни. Усадьба: Благодаря содержанию пектиновых веществ и сбалансированному соотношению кислоты и сахаров зрелые плоды физалиса считаются ценным диетическим продуктом....
Физалис овощной рецепты приготовления блюд
Простые рецепты из физалиса разнообразят ваше меню. Ягоды физалиса богаты углеводами, фруктозой и глюкозой. В основном, рецепты приготовления физалиса сводятся...
Фонарь налобный красный светодиод
Популярное в категории: Сортировать по: Показывать товаров: 40 100 Благодаря несложной конструкции налобный фонарь имеет резинку, которая одевается на голову,...
Adblock detector